ТОЭ · практическая работа 2 01 / 16

> ac_circuits / mutual_inductance

Цепи с взаимной
индуктивностью

Как две катушки «общаются» через магнитное поле — и почему на этом работает весь мир

Практика № 2 · РК2 Дисциплина: ТОЭ Мейрдинов Расул · РиМ 25-2Р

Здравствуйте. Тема моей второй работы — цепи с взаимной индуктивностью. Если коротко, это про то, как две катушки, расположенные рядом, влияют друг на друга через магнитное поле, даже не касаясь проводами. На этом простом явлении держится огромная часть техники: трансформаторы, беспроводные зарядки, индукционные плиты. Я объясню саму суть без сложных формул, на аналогиях, покажу красивые анимации магнитного поля, разберу согласное и встречное включение катушек, решу одну задачу и покажу, где это работает в жизни.

зачем это нужно 02 / 16

Мотивация

Это вокруг нас каждый день

Трансформатор — повышает и понижает напряжение во всей энергосистеме
Беспроводная зарядка телефона — две катушки без проводов
Индукционная плита — катушка греет дно посуды на расстоянии
Металлоискатели, бесконтактные карты, Wi-Fi-зарядки

Везде здесь работает одна идея: ток в одной катушке создаёт магнитное поле, а оно наводит напряжение в другой.

Сначала о том, зачем эта тема нужна. Взаимная индукция окружает нас постоянно. Главный пример — трансформатор: именно он повышает и понижает напряжение во всей энергосистеме, от электростанции до розетки. Беспроводная зарядка телефона — это тоже две катушки, которые передают энергию без проводов. Индукционная плита нагревает посуду катушкой, которая наводит токи прямо в дне кастрюли. Металлоискатели, бесконтактные карты, метки — всё это та же физика. И во всех этих устройствах работает одна и та же простая идея: ток в одной катушке создаёт магнитное поле, а это поле наводит напряжение в другой катушке рядом. Вся работа — про то, как это посчитать.

простыми словами 03 / 16

Что такое взаимная индукция

Две катушки «чувствуют» друг друга

🎻 аналогия: связанные камертоны

Ударь по одному камертону — стоящий рядом второй сам начнёт звучать, хотя ты его не трогал. Звук передался через воздух.

С катушками так же, только вместо звука — магнитное поле. Меняющийся ток в первой катушке создаёт меняющееся магнитное поле, и оно «дотягивается» до второй, наводя в ней напряжение.

Касаться проводами не нужно — связь идёт через поле.

Объясню суть простыми словами через аналогию с камертонами. Если ударить по одному камертону, второй, стоящий рядом, сам начнёт тихо звучать, хотя вы к нему не прикасались. Почему? Колебания передались через воздух. С двумя катушками происходит то же самое, только связь идёт не через звук, а через магнитное поле. Когда по первой катушке течёт меняющийся ток, вокруг неё возникает меняющееся магнитное поле. Это поле дотягивается до второй катушки и наводит в ней напряжение, электродвижущую силу. Самое важное: катушки не соединены проводами между собой — энергия передаётся прямо через магнитное поле, по воздуху. На анимации видно, как поле от первой катушки охватывает вторую. Это и называется взаимной индукцией.

механизм 04 / 16

Цепочка из трёх шагов

Ток → поле → напряжение

ШАГ 1 · ТОК

Меняющийся ток

По первой катушке пускают переменный ток — он всё время меняется.

ШАГ 2 · ПОЛЕ

Магнитное поле

Ток создаёт вокруг катушки магнитное поле, которое тоже меняется в такт.

ШАГ 3 · ЭДС

Наведённое напряжение

Меняющееся поле наводит во второй катушке напряжение. Энергия «перепрыгнула».

Ключевое слово — «меняющийся». Постоянный ток поля не меняет и ничего не наведёт. Поэтому взаимная индукция работает только на переменном токе.

Разложу механизм на три простых шага. Шаг первый: по первой катушке пускаем переменный ток. Переменный — значит он всё время меняется, то растёт, то падает, то меняет направление. Шаг второй: этот ток создаёт вокруг катушки магнитное поле, и поскольку ток меняется, поле тоже меняется в такт с ним. Шаг третий: это меняющееся магнитное поле дотягивается до второй катушки и наводит в ней напряжение — электродвижущую силу. То есть энергия как бы перепрыгнула из первой катушки во вторую без проводов. И вот что критически важно понять: всё держится на слове «меняющийся». Если ток постоянный, не меняется, то и поле не меняется, и во второй катушке ничего не наведётся — будет ноль. Именно поэтому взаимная индукция, трансформаторы, зарядки — всё это работает только на переменном токе, а не на постоянном.

величина M 05 / 16

Взаимная индуктивность

M — «насколько сильно влияют»

Взаимная индуктивность M — это число, которое показывает, насколько сильно одна катушка влияет на другую. Измеряется в генри (Гн).

M большое — катушки близко, влияют сильно
M маленькое — далеко друг от друга, влияют слабо
Поднесли катушки ближе → M выросло

Наведённое напряжение e₂ = M · (скорость изменения тока i₁) Чем быстрее меняется ток в первой катушке и чем больше M — тем больше напряжение во второй. Всего одна идея.

Теперь введём главную величину темы — взаимную индуктивность, её обозначают буквой M. Простыми словами, M — это просто число, которое говорит, насколько сильно одна катушка влияет на другую. Измеряется она в генри, так же как обычная индуктивность. Логика очень понятная: если катушки расположены близко, поле одной хорошо охватывает другую, и M большое — влияние сильное. Если катушки далеко, поле почти не доходит, M маленькое — влияние слабое. Если взять две катушки и поднести их ближе друг к другу, взаимная индуктивность вырастет. Единственная формула, которую стоит запомнить: наведённое во второй катушке напряжение равно M, умноженному на скорость изменения тока в первой. Смысл простой: чем быстрее меняется ток в первой катушке и чем больше M, тем большее напряжение наведётся во второй. Вот и вся идея.

коэффициент связи 06 / 16

Насколько плотно связаны

Коэффициент связи k: от 0 до 1

k → 1 · ТЕСНАЯ СВЯЗЬ

Почти всё поле первой катушки проходит через вторую. Так делают в трансформаторах — катушки на общем железном сердечнике.

k → 0 · СЛАБАЯ СВЯЗЬ

Катушки далеко, поле «рассеивается» мимо. Передаётся лишь крошечная часть энергии.

Коэффициент связи k = M / √(L₁·L₂) Показывает, какая доля магнитного поля общая для двух катушек. k=1 — идеал, всё поле общее; k=0 — общего нет.

Раз M зависит от того, насколько катушки связаны, удобно ввести ещё одну величину — коэффициент связи, обозначается буквой k. Это число от нуля до единицы, и оно показывает, какая доля магнитного поля у двух катушек общая. Если k близок к единице — связь тесная: почти всё поле первой катушки проходит и через вторую, энергия передаётся хорошо. Именно так делают в трансформаторах: обе обмотки наматывают на общий железный сердечник, чтобы поле не разбегалось, и k получается близким к единице. Если k близок к нулю — связь слабая: катушки далеко, поле рассеивается в пространстве мимо второй катушки, и передаётся лишь крошечная доля энергии. Формула простая: k равно M делить на корень из произведения L один на L два. Не нужно её зубрить — достаточно понимать смысл: k это «насколько хорошо две катушки делят между собой магнитное поле».

полярность · точки 07 / 16

Как обозначают на схеме

Точки обмоток — зачем они

У катушек на схеме рисуют точки ●. Они показывают «одинаковые» концы обмоток — куда намотан провод одинаково.

Токи входят оба в точки (или оба из точек) → поля складываются
Один в точку, другой из точки → поля вычитаются

Точки — это просто «компас», который говорит, помогают катушки друг другу или мешают.

Чтобы понимать схемы с двумя катушками, нужно разобраться с точками. На схеме рядом с катушками рисуют маленькие точки. Многие их боятся, но смысл очень простой. Точка отмечает «одинаковый» конец обмотки — тот конец, с которого начали наматывать провод одинаковым образом. Зачем это нужно? Точки говорят нам, помогают катушки друг другу или мешают. Правило такое: если ток входит в обе катушки со стороны точек — или выходит из обеих со стороны точек — то магнитные поля складываются, катушки усиливают друг друга. А если в одну катушку ток входит со стороны точки, а в другую — с противоположной стороны, то поля направлены навстречу и вычитаются, катушки мешают друг другу. То есть точка — это как компас на схеме: она подсказывает направление намотки и сразу говорит, будет согласное включение или встречное. Дальше мы разберём оба этих случая.

согласное включение 08 / 16

Поля складываются

Согласное: катушки помогают

🤝 аналогия: толкают вместе

Как два человека толкают машину в одну сторону — усилия складываются.

Магнитные поля катушек направлены одинаково и складываются. Общая индуктивность становится больше, ток в цепи — меньше.

Общая индуктивность L = L₁ + L₂ + 2M «+2M» — это и есть взаимопомощь катушек.

Первый случай — согласное включение. Простая аналогия: представьте, что два человека толкают застрявшую машину в одну и ту же сторону. Их усилия складываются, машина едет легче. В согласном включении магнитные поля двух катушек направлены одинаково и складываются, катушки помогают друг другу. Что из этого следует: общая индуктивность цепи становится больше. Формула — L равно L один плюс L два плюс два M. Обратите внимание на это «плюс два M» — это и есть та самая добавка от взаимопомощи катушек. А раз индуктивность стала больше, значит и сопротивление цепи переменному току выросло, и ток при том же напряжении станет меньше. На анимации обе стрелки магнитного поля смотрят в одну сторону вверх — поля складываются. Запомнить просто: согласное — катушки заодно, индуктивность растёт, ток падает.

встречное включение 09 / 16

Поля вычитаются

Встречное: катушки мешают

↔️ аналогия: тянут в разные стороны

Как два человека тянут навстречу друг другу — усилия частично гасятся.

Магнитные поля направлены навстречу и вычитаются. Общая индуктивность становится меньше, ток — больше.

Общая индуктивность L = L₁ + L₂ − 2M «−2M» — катушки ослабляют друг друга.

Второй случай — встречное включение, полная противоположность. Аналогия: теперь два человека тянут не вместе, а навстречу друг другу — усилия частично гасятся, толку меньше. Во встречном включении магнитные поля катушек направлены навстречу и вычитаются, катушки мешают друг другу. Следствие: общая индуктивность цепи становится меньше. Формула — L равно L один плюс L два минус два M. Здесь уже «минус два M» — катушки ослабляют друг друга. А раз индуктивность меньше, то и сопротивление переменному току меньше, и ток при том же напряжении будет больше. На анимации стрелки полей смотрят навстречу — одна вверх, другая вниз — поэтому они вычитаются. Запоминаем: встречное — катушки в раздоре, индуктивность падает, ток растёт. И вот что красиво: одни и те же две катушки дают разный ток в зависимости только от того, как их соединить — это мы сейчас и посчитаем в задаче.

как измерить M 10 / 16

Хитрый приём на практике

Как узнать M из опыта

Измерить M напрямую трудно. Но есть приём: соединяем катушки согласно, меряем индуктивность; потом встречно — меряем снова. Их разница и даёт M.

Из двух измерений L_согл − L_встр = 4M ⟹ M = (L_согл − L_встр) / 4 (L₁+L₂+2M) − (L₁+L₂−2M) = 4M. Всё лишнее сократилось — осталось только 4M.

Теперь практический вопрос: а как вообще узнать эту взаимную индуктивность M? Напрямую её измерить трудно. Но есть очень красивый приём из двух измерений. Сначала соединяем две катушки согласно и измеряем общую индуктивность — получится L один плюс L два плюс два M. Потом те же катушки соединяем встречно и измеряем снова — получится L один плюс L два минус два M. А теперь вычтем второе из первого. Смотрите, что происходит: L один и L два есть в обоих выражениях, и при вычитании они сокращаются. Остаётся только два M минус минус два M, то есть четыре M. Значит, разница двух измерений равна четырём M, а сама M равна этой разнице, делённой на четыре. Гениально простой приём: ничего не нужно знать про поля и витки — просто два раза измерил индуктивность прибором, вычел, поделил на четыре, и вот тебе M.

задача · условие 11 / 16

Две катушки последовательно

Условие задачи

Дано U = 220 В, f = 50 Гц
L₁ = 0,10 Гн → X_L1=31,4 Ом
L₂ = 0,05 Гн → X_L2=15,7 Ом
M = 0,03 Гн → X_M=9,4 Ом
R₁ = 8 Ом, R₂ = 4 Ом

Найти ток для согласного и встречного включения и сравнить.

Перейдём к задаче, она закрепит всё, о чём мы говорили. Две катушки соединены последовательно и подключены к источнику двести двадцать вольт, частота пятьдесят герц. Параметры: первая катушка — индуктивность ноль целых одна десятая генри, что на частоте пятьдесят герц даёт индуктивное сопротивление тридцать один и четыре десятых ома, и активное сопротивление восемь ом. Вторая катушка — ноль ноль пять генри, сопротивление пятнадцать и семь, активное четыре ома. Взаимная индуктивность M равна ноль ноль три генри, ей соответствует сопротивление девять и четыре десятых ома. Нужно найти ток в двух случаях: когда катушки включены согласно и когда встречно, и сравнить результаты. Я специально взял одни и те же катушки, чтобы было видно, как сильно меняется ток только от способа соединения.

решение · согласное 12 / 16

Случай 1 — катушки помогают

Складываем сопротивления (+2M)

R = R₁+R₂ = 8+4 = 12 Ом
X = X_L1+X_L2+2X_M
X = 31,4+15,7+2·9,4 = 65,9 Ом

Ток

Z = √(12²+65,9²) = 67,0 Ом
I = U/Z = 220/67,0 = 3,28 А

«+2M» сильно поднял сопротивление → ток получился маленький.

Простыми словами: катушки помогают друг другу → цепь «тяжёлая» для тока → ток мал (3,28 А).

Решаем первый случай — согласное включение, когда катушки помогают друг другу. Сначала складываем активные сопротивления: восемь плюс четыре — двенадцать ом. Теперь реактивное сопротивление. Так как включение согласное, к сумме индуктивных сопротивлений добавляем два раза сопротивление взаимной индукции: тридцать один и четыре плюс пятнадцать и семь плюс два раза по девять и четыре. Считаю: сумма даёт шестьдесят пять и девять ома. Теперь полное сопротивление Z — корень из двенадцать в квадрате плюс шестьдесят пять и девять в квадрате — получается шестьдесят семь ом. И ток равен напряжению делить на сопротивление — двести двадцать делить на шестьдесят семь — три целых двадцать восемь сотых ампера. Обратите внимание: добавка плюс два M сильно подняла общее сопротивление цепи, поэтому ток получился маленький. Простыми словами: катушки помогают друг другу, цепь стала «тяжёлой» для тока, и ток мал — три и три десятых ампера.

решение · встречное 13 / 16

Случай 2 — катушки мешают · сравнение

Те же катушки, но −2M

X = 31,4+15,7−2·9,4 = 28,3 Ом
Z = √(12²+28,3²) = 30,7 Ом
I = 220/30,7 = 7,17 А

Сравнение

Согласное: I = 3,28 А
Встречное: I = 7,17 А
Ток вырос в 2,2 раза!

Те же две катушки, то же напряжение — но способ соединения изменил ток вдвое.

Вот главный вывод задачи: взаимная индуктивность реально меняет цепь. Просто перевернув одну катушку, мы изменили ток в 2,2 раза.

Теперь второй случай — встречное включение, те же самые катушки, но соединённые наоборот. Считаем реактивное сопротивление: теперь между индуктивными сопротивлениями стоит минус два M — тридцать один и четыре плюс пятнадцать и семь минус два по девять и четыре — получается двадцать восемь и три ома. Полное сопротивление Z — корень из двенадцать в квадрате плюс двадцать восемь и три в квадрате — тридцать и семь ома. Ток — двести двадцать делить на тридцать и семь — семь целых семнадцать сотых ампера. А теперь сравним. В согласном включении ток был три и три десятых ампера, а во встречном — семь и две десятых. Ток вырос больше чем в два раза, точнее в два и две десятых раза. И это главный вывод задачи: взаимная индуктивность — не абстракция, она реально меняет поведение цепи. Мы взяли те же две катушки, то же напряжение, просто перевернули одну из них, поменяли согласное на встречное — и ток изменился больше чем вдвое. Вот почему так важно учитывать M и правильно читать точки на схеме.

главное применение 14 / 16

Взаимная индукция в действии

Трансформатор

Первичная обмотка (оранжевая) получает переменное напряжение U₁ и создаёт поле в сердечнике
Железный сердечник ведёт всё поле ко второй обмотке (связь почти идеальная, k≈1)
Вторичная обмотка (зелёная) снимает напряжение U₂
Сколько витков — столько вольт: больше витков во второй → повышает, меньше → понижает

Теперь главное применение всей темы — трансформатор. Это просто две катушки на общем железном сердечнике, и работает он ровно на той взаимной индукции, что мы изучали. Слева первичная обмотка, оранжевая: на неё подают переменное напряжение U один, по ней течёт переменный ток и создаёт переменное магнитное поле. Железный сердечник — это «дорожка» для поля: он не даёт полю рассеяться и ведёт его почти целиком ко второй обмотке, поэтому связь у трансформатора очень тесная, коэффициент k близок к единице. Справа вторичная обмотка, зелёная: меняющееся поле наводит в ней напряжение U два, которое мы снимаем для потребителя. И самое полезное свойство: напряжение зависит от числа витков. Если во вторичной обмотке витков больше, чем в первичной, трансформатор повышает напряжение; если меньше — понижает. Именно так на электростанции напряжение повышают до сотен тысяч вольт для передачи по проводам, а у нас дома снова понижают до двухсот двадцати. И всё это — та самая взаимная индукция.

применение 15 / 16

Та же физика — разные устройства

Где ещё это работает

Беспроводная зарядка (Qi). Катушка в базе и катушка в телефоне — энергия идёт через поле, без контактов
Индукционная плита. Катушка под стеклом наводит токи прямо в дне посуды — греется кастрюля, а не плита
Металлоискатель. Катушка ловит отклик поля от спрятанного металла
Бесконтактные карты, метки RFID — питаются полем считывателя

Кроме трансформатора, та же самая взаимная индукция работает в куче привычных устройств. Беспроводная зарядка стандарта Qi: в подставке есть катушка и в телефоне есть катушка; когда телефон кладут на базу, энергия передаётся через магнитное поле без всяких контактов — это буквально трансформатор, разрезанный пополам. Индукционная плита: под стеклом спрятана катушка, она создаёт быстро меняющееся поле, и это поле наводит вихревые токи прямо в металлическом дне кастрюли — поэтому греется сама посуда, а стекло остаётся почти холодным. Металлоискатель: его катушка посылает поле и ловит отклик от спрятанного металлического предмета. Бесконтактные карты и метки RFID вообще не имеют батарейки — они питаются от поля считывателя, когда вы подносите карту. Видите, насколько широко работает одна простая идея про две связанные катушки. На фото — индукционная плита, один из самых наглядных примеров.

выводы 16 / 16

Что я понял

Выводы

Взаимная индукция — связь двух катушек через магнитное поле, без проводов (только на переменном токе)
M показывает силу влияния, k (0…1) — насколько плотно связаны
Согласное включение: поля складываются, L = L₁+L₂+2M, ток меньше
Встречное: поля вычитаются, L = L₁+L₂−2M, ток больше
В задаче перестановка катушки изменила ток с 3,28 до 7,17 А — в 2,2 раза
Главное применение — трансформатор; ещё зарядки, индукц. плиты, RFID

Источники: Бессонов Л.А. ТОЭ. Электрические цепи (2013) · Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника (2007) · Глущенко Т.И. ТОЭ (Алматы, 2020).

> Спасибо за внимание. Готов к вопросам._

Подведу итоги своими словами. Первое: взаимная индукция — это связь двух катушек через магнитное поле, без проводов между ними, и работает она только на переменном токе, потому что нужно, чтобы поле менялось. Второе: величина M показывает, насколько сильно катушки влияют друг на друга, а коэффициент связи k от нуля до единицы — насколько плотно они связаны. Третье: при согласном включении поля складываются, индуктивность растёт по формуле L один плюс L два плюс два M, и ток уменьшается. Четвёртое: при встречном включении поля вычитаются, индуктивность падает, и ток увеличивается. Пятое, из задачи: одни и те же катушки при перестановке дали ток то три и три десятых, то семь и две десятых ампера — разница больше чем в два раза. И шестое: главное применение всего этого — трансформатор, а также беспроводные зарядки, индукционные плиты и бесконтактные карты. Спасибо за внимание, готов ответить на вопросы.