ТОЭ · практическая работа 1 01 / 13

> ac_circuits / parallel_inductors

Параллельное соединение
катушек. Резонанс токов

Как считать разветвлённую цепь переменного тока — и зачем это нужно в энергетике

Практика № 1 · РК2 Дисциплина: ТОЭ Мейрдинов Расул · РиМ 25-2Р

Здравствуйте. Тема моей работы — параллельное соединение катушек индуктивности и резонанс токов. Простыми словами, я разберу, что происходит, когда к одному источнику переменного тока подключено несколько потребителей параллельно, как посчитать общий ток, и что за интересное явление — резонанс токов — при этом может возникнуть. Я буду объяснять без зубрёжки формул: сначала смысл, потом расчёт. В конце покажу, где это реально применяется — на заводах и подстанциях.

зачем это нужно 02 / 13

Мотивация

Почему это важно на практике

Почти все мощные потребители — электродвигатели, трансформаторы — это, по сути, катушки. Они забирают из сети «лишний» реактивный ток, который греет провода, но не делает работы.

За низкий коэффициент мощности (cos φ) предприятия штрафуют. Чтобы его поднять, ставят конденсаторы — и настраивают цепь близко к резонансу токов. Эта работа — про то, как это считается.

Сначала отвечу на вопрос «зачем». Подавляющее большинство мощных потребителей электроэнергии — это электродвигатели и трансформаторы. По своей сути это катушки, обмотки. А катушка в цепи переменного тока забирает из сети дополнительный ток, который называется реактивным. Особенность этого тока в том, что он не выполняет полезной работы — не превращается в тепло или механическое движение, — но при этом течёт по проводам и греет их, нагружает сеть. Поэтому энергетикам это невыгодно, и предприятия с низким коэффициентом мощности, то есть с большим реактивным током, штрафуют. Чтобы исправить ситуацию, параллельно нагрузке ставят конденсаторы, которые компенсируют этот реактивный ток — это и есть приближение к резонансу токов. Моя работа объясняет, как такие цепи рассчитываются.

простыми словами 03 / 13

Главная идея расчёта

Почему складываем проводимости

⛲ аналогия: дороги для тока

Каждая параллельная ветвь — это отдельная дорога, по которой течёт ток. Чем больше дорог — тем больше суммарный поток.

Проводимость ветви — это «насколько широкая дорога», насколько легко через неё идёт ток (это величина, обратная сопротивлению).

Поэтому при параллельном соединении складываем именно проводимости (пропускные способности), а не сопротивления.

Проводимость ветви y = 1 / Z [См, сименс] Большое сопротивление Z → маленькая проводимость y (узкая дорога). И наоборот.

Вся цепь Y = y₁ + y₂ + …, I = U · Y Общий ток = напряжение × суммарная проводимость.

Объясню главную идею простыми словами. Когда несколько ветвей соединены параллельно, у них общее напряжение, но ток растекается по ним. Представьте, что каждая ветвь — это отдельная дорога, по которой едет ток. Чем больше параллельных дорог, тем больше машин проедет в сумме. Так вот, проводимость ветви — это как ширина дороги: насколько легко через неё проходит ток. Математически проводимость — это просто единица, делённая на сопротивление. Большое сопротивление — узкая дорога, маленькая проводимость. Маленькое сопротивление — широкая дорога, большая проводимость. И вот ключевой момент: при параллельном соединении нельзя складывать сопротивления, а вот проводимости складывать можно и нужно — мы складываем пропускные способности всех дорог. Тогда общий ток равен напряжению, умноженному на суммарную проводимость. Это и есть весь метод проводимостей.

простыми словами 04 / 13

Два вида тока

Активный и реактивный — в чём разница

АКТИВНЫЙ — полезный

Ток, который реально превращается в тепло или работу на сопротивлении R. Лампа светит, двигатель крутит — это он.

РЕАКТИВНЫЙ — «качающийся»

Ток катушки не делает работы: пол-периода катушка запасает энергию в магнитном поле, пол-периода отдаёт её обратно в источник. В среднем — ноль, но провода он всё равно греет.

Медная катушка — **Катушка** — главный источник реактивного тока в сети

Теперь ключевое различие, которое нужно понимать — два вида тока. Активный ток — это полезный ток. Он течёт через активное сопротивление R и реально превращается в тепло или в работу: лампа светит, нагреватель греет, двигатель вращается. Реактивный ток — другой по природе. Он связан с катушкой и конденсатором. Возьмём катушку: в течение одной четверти периода она запасает энергию в своём магнитном поле, забирая ток из сети, а в следующую четверть отдаёт эту энергию обратно в источник. То есть энергия качается туда-сюда, и в среднем за период полезной работы реактивный ток не совершает — ноль. Но проблема в том, что этот качающийся ток всё равно течёт по проводам и греет их, занимает мощность источника. Вот почему с реактивным током борются. На фото — медная катушка, обмотка; именно такие обмотки в двигателях и трансформаторах создают реактивный ток в сети.

формулы · кратко 05 / 13

Рабочие формулы

Что считаем — и что это значит

Проводимости ветви (R, X) g = R/|Z|² · b = X/|Z|² g — активная (полезная) часть, b — реактивная (качающаяся). |Z|=√(R²+X²).

Суммируем по всем ветвям G = Σg · B = Σb_L − Σb_C Индуктивные минус ёмкостные — они вычитаются, т.к. «качаются» в противофазе.

Полная проводимость и ток Y = √(G²+B²) · I = U·Y G и B — как катеты, Y — гипотенуза. Общий ток = U×Y.

Коэффициент мощности cos φ = G / Y Доля полезного тока. cos φ = 1 — весь ток рабочий; меньше — есть «балласт».

Здесь собраны рабочие формулы, и я объясню смысл каждой, чтобы это были не просто буквы. Первая: для каждой ветви активная проводимость g равна R делить на модуль Z в квадрате, а реактивная b равна X делить на модуль Z в квадрате. g — это полезная часть, b — качающаяся, реактивная. Модуль Z — корень из R квадрат плюс X квадрат. Вторая формула: складываем по всем ветвям. Активные проводимости просто суммируем — получаем G. Реактивные суммируем с учётом знака: индуктивные минус ёмкостные. Почему минус? Потому что в катушке и конденсаторе ток качается в противофазе: когда катушка забирает энергию, конденсатор отдаёт, поэтому их реактивные токи вычитаются. Третья: полная проводимость Y — это как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами G и B, то есть корень из суммы квадратов; общий ток равен U умножить на Y. И четвёртая: косинус фи равен G делить на Y — это доля полезного тока. Если косинус фи равен единице — весь ток рабочий, это идеал. Если меньше — часть тока балласт.

схема задачи 06 / 13

Исследуемая цепь

Две параллельные ветви

Дано U = 120 В, f = 50 Гц
Ветвь 1: R₁=3 Ом, X_L1=4 Ом
Ветвь 2: R₂=8 Ом, X_C2=6 Ом

Ветвь 1 — катушка (индуктивная, ток отстаёт). Ветвь 2 — резистор и конденсатор (ёмкостная, ток опережает). Найти: токи, общий ток, cos φ, мощности.

Перейдём к конкретной задаче. К источнику 120 вольт частотой 50 герц параллельно подключены две ветви. Первая ветвь — катушка: активное сопротивление 3 ома и индуктивное 4 ома, ток в ней будет отставать от напряжения. Вторая ветвь — резистор 8 ом последовательно с конденсатором, ёмкостное сопротивление 6 ом, ток в ней будет опережать напряжение. Так как ветви параллельны, на обеих одно и то же напряжение — 120 вольт. Нужно найти ток в каждой ветви, общий ток в неразветвлённой части цепи, косинус фи и мощности. На схеме обозначены İ один и İ два — токи ветвей, и İ — общий ток от источника.

решение · шаг 1 07 / 13

Считаем каждую ветвь отдельно

Ветвь 1 — катушка

|Z₁| = √(3²+4²) = 5 Ом
I₁ = U/|Z₁| = 120/5 = 24 А
g₁ = 3/5² = 0,12 См
b_L1 = 4/5² = 0,16 См

Сопротивление ветви 5 Ом → ток 24 А. Реактивная часть больше активной — ветвь сильно индуктивная.

Ветвь 2 — с конденсатором

|Z₂| = √(8²+6²) = 10 Ом
I₂ = U/|Z₂| = 120/10 = 12 А
g₂ = 8/10² = 0,08 См
b_C2 = 6/10² = 0,06 См

Сопротивление 10 Ом → ток в 2 раза меньше. Реактивная часть ёмкостная.

Складываем проводимости всей цепи

G = g₁+g₂ = 0,12+0,08 = 0,20 См · B = b_L1−b_C2 = 0,16−0,06 = 0,10 См (индукт.)

Индуктивная проводимость пересилила ёмкостную → вся цепь в целом индуктивная.

Решаем. Сначала каждую ветвь по отдельности. Ветвь один: полное сопротивление — корень из трёх в квадрате плюс четыре в квадрате — равно пяти омам. Значит ток первой ветви равен 120 делить на 5 — двадцать четыре ампера. Дальше считаю проводимости: активная g один — три делить на пять в квадрате, то есть на двадцать пять — получается ноль целых двенадцать сотых сименс; реактивная b один — четыре делить на двадцать пять — ноль шестнадцать. Реактивная больше активной, значит ветвь сильно индуктивная. Ветвь два: сопротивление — корень из шестьдесят четыре плюс тридцать шесть — десять ом, ток двенадцать ампер, в два раза меньше. Проводимости: активная ноль ноль восемь, ёмкостная ноль ноль шесть. Теперь складываю по всей цепи: активная G — ноль двенадцать плюс ноль ноль восемь — ноль двадцать сименс. Реактивная B — из индуктивной вычитаю ёмкостную: ноль шестнадцать минус ноль ноль шесть — ноль десять сименс, и она индуктивная, потому что индуктивность пересилила ёмкость. Значит вся цепь в целом ведёт себя как индуктивная.

решение · ответ 08 / 13

Общий ток, cos φ, мощности

Ток и коэффициент мощности

Y = √(0,20²+0,10²) = 0,224 См
I = U·Y = 120·0,224 = 26,8 А
cos φ = G/Y = 0,20/0,224 = 0,894

Полезных ~89% тока, ~11% — реактивный «балласт».

Мощности

P = U²·G = 2880 Вт (полезная)
Q = U²·B = 1440 ВАр (реактивная)
S = U²·Y = 3220 ВА (полная)

P — греет и работает; Q — «качается» зря; S — то, что грузит источник.

Проверка

Активный ток 24 А, реактивный 12 А → I = √(24²+12²) = 26,8 А ✓

Завершаю первую задачу. Полная проводимость Y — корень из ноль двадцать в квадрате плюс ноль десять в квадрате — ноль двести двадцать четыре сименс. Общий ток равен напряжению на проводимость — 120 на ноль двести двадцать четыре — двадцать шесть и восемь ампера. Косинус фи — G делить на Y — ноль восемьсот девяносто четыре. Это значит, что примерно восемьдесят девять процентов тока полезные, а одиннадцать процентов — реактивный балласт, который зря нагружает сеть. Теперь мощности, и тут важно понимать смысл каждой. Активная мощность P — две тысячи восемьсот восемьдесят ватт — это то, что реально греет и совершает работу. Реактивная Q — тысяча четыреста сорок вар — это та самая качающаяся мощность, которая бесполезна. Полная мощность S — три тысячи двести двадцать вольт-ампер — это полная нагрузка на источник. Проверяю результат: активная составляющая тока двадцать четыре ампера, реактивная двенадцать, корень из суммы квадратов даёт двадцать шесть и восемь — всё сходится.

резонанс токов · смысл 09 / 13

Главное явление работы

Резонанс токов — это как качели

🎢 аналогия: качели

Катушка запасает энергию в магнитном поле, конденсатор — в электрическом. На резонансной частоте они начинают перекидывать энергию друг другу в такт: катушка отдаёт — конденсатор берёт, и наоборот.

Энергия «крутится» внутри контура между ними — источнику почти не нужно её поставлять. Поэтому общий ток от источника падает до минимума, хотя внутри контура токи большие.

Условие резонанса токов b_L = b_C ⟹ B = 0 Реактивные проводимости сравнялись и погасили друг друга.

Общий ток минимален, cos φ = 1
Реактивная мощность Q = 0
В отличие от резонанса напряжений — там ток наоборот максимален

Теперь самое интересное — резонанс токов. Объясню на аналогии с качелями. Есть два «накопителя» энергии: катушка хранит энергию в магнитном поле, а конденсатор — в электрическом. Когда частота сети совпадает с собственной частотой контура — наступает резонанс, и эти два элемента начинают перекидывать энергию друг другу в такт, как качели. В тот момент, когда катушка отдаёт свою энергию, конденсатор её принимает, а через мгновение — наоборот. Получается, энергия крутится по кругу внутри контура между катушкой и конденсатором, и источнику почти не нужно её подкачивать. Поэтому ток, который источник отдаёт в цепь, падает до минимума. При этом внутри самого контура токи могут быть очень большими — энергии там много, она просто циркулирует. Условие резонанса токов простое: индуктивная проводимость равна ёмкостной, и тогда суммарная реактивная проводимость B обращается в ноль. Признаки: общий ток минимален, косинус фи равен единице, реактивная мощность ноль. И важно не путать: при резонансе токов в параллельном контуре ток минимален, а вот при резонансе напряжений в последовательном контуре ток наоборот максимален.

задача 2 · решение 10 / 13

Подбираем конденсатор

Каким должен быть С, чтобы наступил резонанс?

Что нужно скомпенсировать

Лишняя реактивность: B = 0,10 См (индукт.)
Нужен конденсатор с b_C = 0,10 См
b_C = ωC ⟹ C = b_C/ω
ω = 2πf = 314 → C = 318 мкФ

Что стало после

B = 0 → Y = G = 0,20 См
Ток источника: 26,8 → 24 А
cos φ: 0,894 → 1,0
Реактивная мощность Q → 0

Простыми словами: конденсатор «забрал на себя» реактивный ток катушки, и источнику осталось питать только полезный ток. cos φ поднялся до 1 — именно так на подстанциях разгружают сети.

Вторая задача — практическая, и она прямо вытекает из первой. В нашей цепи была лишняя индуктивная реактивность: суммарная реактивная проводимость B равна ноль десять сименс. Идея: добавить конденсатор, который создаст точно такую же по величине, но ёмкостную проводимость, и они погасят друг друга. То есть нужен конденсатор с проводимостью b C равной ноль десять. Для конденсатора b C равно омега на C, отсюда C равно b C делить на омега. Омега — это два пи эф, триста четырнадцать. Считаю: ноль десять делить на триста четырнадцать — примерно триста восемнадцать микрофарад. Что изменилось после установки конденсатора: суммарная реактивная проводимость стала нулём, общий ток источника упал с двадцати шести и восьми до двадцати четырёх ампер, косинус фи поднялся с ноль восемьдесят девять до единицы, а реактивная мощность стала нулём. Простыми словами: конденсатор взял реактивный ток катушки на себя, они обмениваются энергией между собой, и источнику осталось питать только полезный ток. Это и есть компенсация реактивной мощности — именно так на подстанциях с помощью конденсаторных батарей разгружают сети и убирают штрафы за низкий косинус фи.

векторная диаграмма 11 / 13

Как читать диаграмму токов

Токи складываются как стрелки

U — опорная стрелка (общее напряжение)
İ₁ вниз — катушка тянет ток вниз (отстаёт)
İ₂ вверх — конденсатор тянет вверх (опережает)
İ — их сумма по правилу стрелок; чуть ниже оси → цепь индуктивная

Векторная диаграмма помогает увидеть всё наглядно. Токи в цепи переменного тока — это не просто числа, а стрелки, у которых есть длина и направление. За опорную стрелку беру напряжение U и направляю его вправо по горизонтали, потому что на параллельных ветвях напряжение общее. Ток первой ветви İ один рисую вниз под углом, потому что катушка заставляет ток отставать от напряжения — длина соответствует двадцати четырём амперам. Ток второй ветви İ два рисую вверх, потому что конденсатор заставляет ток опережать — длина двенадцать ампер. Общий ток İ нахожу, складывая эти две стрелки по правилу параллелограмма, как векторы. Результат — толстая жёлтая стрелка, она получилась чуть ниже горизонтали, то есть общий ток слегка отстаёт от напряжения, и это подтверждает, что вся цепь в целом индуктивная. Если бы мы добавили конденсатор из второй задачи, эта стрелка легла бы точно на ось напряжения — это и был бы резонанс.

применение 12 / 13

Где это работает

От задачи — к подстанции

Компенсация реактивной мощности. Конденсаторные батареи на подстанциях и заводах поднимают cos φ — ровно то, что мы посчиталиМеньше реактивного тока → меньше нагрев проводов и потери
Разгрузка сетей. При cos φ ближе к 1 по тем же проводам можно передать больше полезной мощности
Экономия денег. Предприятие уходит от штрафов за низкий cos φ

Покажу, где наши расчёты применяются в реальности. На фото — оборудование электрической подстанции. Именно здесь устанавливают конденсаторные батареи — те самые конденсаторы, которые мы подбирали во второй задаче. Первое применение — компенсация реактивной мощности: батареи конденсаторов поднимают косинус фи близко к единице, забирая реактивный ток на себя. Второе — разгрузка сетей: когда косинус фи близок к единице, по тем же проводам можно передать больше полезной мощности, потому что в них больше нет балластного реактивного тока. Третье — это прямая экономия: предприятие перестаёт платить штрафы за низкий коэффициент мощности. То есть простая, на первый взгляд, задача про параллельные ветви и резонанс токов — это основа реальной инженерной работы в энергетике.

выводы 13 / 13

Что я понял

Выводы

Параллельные ветви считаем методом проводимостей: складываем «ширину дорог» g и b, а не сопротивления
Ток бывает активный (полезный) и реактивный (качается зря, но греет провода)
В нашей цепи: I = 26,8 А, cos φ = 0,894, P = 2880 Вт, Q = 1440 ВАр
Резонанс токов (b_L=b_C) = «качели»: ток источника минимален, cos φ = 1
Конденсатор 318 мкФ скомпенсировал реактивность — основа повышения cos φ в энергосистемах

Источники: Бессонов Л.А. ТОЭ. Электрические цепи (2013) · Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника (2007) · Глущенко Т.И. ТОЭ (Алматы, 2020).

> Спасибо за внимание. Готов к вопросам._

Подведу итоги своими словами. Первое: параллельные ветви удобно считать методом проводимостей — мы складываем «ширину дорог», то есть проводимости g и b, а сопротивления складывать нельзя. Второе: я разобрался, что ток бывает двух видов — активный, который делает полезную работу, и реактивный, который качается туда-сюда без пользы, но всё равно греет провода. Третье, конкретные числа моей цепи: общий ток двадцать шесть и восемь ампера, косинус фи ноль восемьдесят девять, активная мощность две тысячи восемьсот восемьдесят ватт. Четвёртое: резонанс токов, когда индуктивная и ёмкостная проводимости равны, работает как качели — энергия циркулирует внутри контура, а ток источника минимален и косинус фи равен единице. И пятое: подобрав конденсатор триста восемнадцать микрофарад, я скомпенсировал реактивность цепи — это и есть основа повышения коэффициента мощности в реальных энергосистемах. Спасибо за внимание, готов ответить на вопросы.